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Bn ∈ B mit B = A[b1 , . . , bn ] existieren. (ii) B heißt endlich, falls B als A-Modul endlich erzeugt ist. Bemerkung. (i) Eine endliche A-Algebra muss als Menge nicht endlich sein! (ii) Jede endliche A-Algebra B ist endlich erzeugt, da f¨ ur ein endliches Erzeugendensystem b1 , . . , bn von B als A-Modul auch A[b1 , . . , bn ] = B gilt. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Zum Beispiel ist der Polynomring Z[X] eine endlich erzeugte Z-Algebra, die keine endliche Z-Algebra ist, denn Z[X] ist als Z-Modul nicht endlich erzeugt.

19 GdA SoSe 2013). Daher ist R/pR ein K¨orper. Wir haben somit einen Widerspruch zu dimR/pR ((R/pR)k+r ) = k + r. Der R-Modul M kann also nicht von k + r − 1 Elementen erzeugt sein. Wir nehmen nun an, dass ein endlich erzeugter Modul M u ¨ber einem Hauptidealring R isomorph zu R/d1 R × · · · × R/dk R × Rr ist f¨ ur gewisse k, r ∈ Z≥0 und d1 , . . , dk ∈ R \ ({0} ∪ R× ) mit d1 | · · · |dk . Wir m¨ ussen zeigen, dass k, r eindeutig und d1 , . . , dk bis auf Assoziierte eindeutig durch M bestimmt sind.

11 auch algebraisch ist. Daraus folgt insbesondere, dass α1 , . . , αn algebraisch u ¨ber K sind. 19. Sei L/K eine K¨orpererweiterung. Dann ist K alg := {α ∈ L : α algebraisch u ¨ber K} ein Unterk¨orper von L. Bemerkung. Wir nennen K alg den algebraischen Abschluss von K in L. ¨ Beweis. Siehe Ubungen. Abschließend in diesem Abschnitt analysieren wir, ob und wie sich ein K¨orperhomomorphismus σ : K → L auf eine einfache K¨orpererweiterung K = K(α) von K fortsetzen l¨asst. h. wenn das Diagramm KO A A AA σ AA AA ?