By Henri Léon Lebesgue

The 2 nice works of the prestigious French mathematician Henri Lebesgue (1875-1941), Leçons sur l’intégration et l. a. recherche des fonctions primitives professées au Collège de France (1904) and Leçons sur les séries trigonométriques professées au Collège de France (1906) arose from lecture classes he gave on the Collège de France whereas maintaining a instructing put up on the college of Rennes. In 1901 Lebesgue formulated degree idea; and in 1902 his new definition of the yes indispensable, which generalised the Riemann essential, revolutionised fundamental calculus and drastically extended the scope of Fourier research. The Lebesgue essential is considered one of many significant achievements in sleek actual research, and is still crucial to the learn of arithmetic this present day. either one of Lebesgue’s books are reissued during this sequence.

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Petropolitanai, t. XI, annee 1793, \olume paru en 1798. (-) Voici quelques indications historiques : Dans son Memoire He 174^ Euler donne l'expression de

Sr/. D'abord, quand S| ut\ est uniformement bornee; ensuite, comme dans le cas ou m tend vers zero avec - et 011 S| Aw/| est uniformement bornee, on peut ecrire quand ces conditions sont realisees, Ja convergence est uniforme. En faisant Vj=aia:lii et Uj= (—) on a la demonstration classique du theoreme d'Abel sur les series entieres qu'on va bientot utiliser (n° 31). Le theoreme general sera utilise au n" 58. Voici une autre consequence de la transformation d'Abel. OJ T , , . . „ par un = Considerons alors une integrate de la forme / uv dx, dans THEORIE ELEMENTAIRE DES SERIES DE FOURIER.

O . _ . ^ —-,— = r — s i n a ? -+- s i n i ^ 1 — s i n 5 ^ - h . -t- s i n ( i m — \)x ax = ( x ) Voir son premier Memoire : Sur la nature et la propagation du son (QEuvres, t. I, p. 109). ( 2 ) II faut remarquer que, si la methode peut conduire a attribuer une somme a une serie divergente, elle ne peut jamais conduire a attribuer une somme inexacte a une serie convergente; cela resulte d'un theorcme d'Abel qui est rappele un peu plus loin (n° 25): voir aussi (n° 31). 36 CHAPITRE II. d'ou Sm = - / 2 J^ — ax.

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